|
426. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Racionális törtfüggvények integrálása |
|
|
425. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Improprius integrálok |
|
|
419. feladat |
Nehézségi szint: |
2 kredit |
» Integrálszámítás » Improprius integrálok |
|
|
418. feladat |
Nehézségi szint: |
2 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
417. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
416. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Integrálszámítás » Helyettesítéses integrálás |
|
|
415. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Helyettesítéses integrálás |
|
|
406. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
404. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Parciális integrálás |
|
|
403. feladat |
Nehézségi szint: |
2 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
402. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
400. feladat |
Nehézségi szint: |
6 kredit |
» Integrálszámítás » Racionális törtfüggvények integrálása |
|
|
397. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Kettős integrál |
|
|
381. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Kettős integrál |
|
|
373. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Kettős integrál |
|
|
372. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Kettős integrál |
|
|
371. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Integrálszámítás » Kettős integrál |
|
|
320. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
319. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Helyettesítéses integrálás |
|
|
318. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Helyettesítéses integrálás |
|
|
317. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Helyettesítéses integrálás |
|
|
316. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Helyettesítéses integrálás |
|
|
315. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
314. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
313. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
312. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
311. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
310. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
302. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Parciális integrálás |
|
|
294. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
123. feladat |
Nehézségi szint: |
9 kredit |
» Integrálszámítás » Kettős integrál |
|
|
122. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Kettős integrál |
|
|
121. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Improprius integrálok |
|
|
120. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Improprius integrálok |
|
|
119. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Forgástest térfogata |
|
|
118. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Forgástest felszíne |
|
|
117. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Integrálszámítás » Görbe ívhosszának számítása |
|
|
116. feladat |
Nehézségi szint: |
2 kredit |
» Integrálszámítás » Görbe alatti terület meghatározása |
|
|
115. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Forgástest térfogata |
|
|
114. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Forgástest térfogata |
|
|
112. feladat |
Nehézségi szint: |
6 kredit |
» Integrálszámítás » Forgástest felszíne |
|
|
111. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Forgástest felszíne |
|
|
110. feladat |
Nehézségi szint: |
9 kredit |
» Integrálszámítás » Görbe ívhosszának számítása |
|
|
109. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Görbe ívhosszának számítása |
|
|
107. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Integrálszámítás » Görbe alatti terület meghatározása |
|
|
106. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Görbe alatti terület meghatározása |
|
|
105. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Racionális törtfüggvények integrálása |
|
|
104. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Racionális törtfüggvények integrálása |
|
|
102. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Határozott integrál |
|
|
101. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Helyettesítéses integrálás |
|
|
100. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Helyettesítéses integrálás |
|
|
99. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Helyettesítéses integrálás |
|
|
98. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
94. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
93. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
92. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
91. feladat |
Nehézségi szint: |
2 kredit |
» Integrálszámítás » Integrálási szabályok |
|
|
90. feladat |
Nehézségi szint: |
2 kredit |
» Integrálszámítás » Elemi primitívfüggvények |
|
|
89. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Integrálszámítás » Primitív függvény |
|
|
88. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Integrálszámítás » Parciális integrálás |
|
|
87. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Integrálszámítás » Parciális integrálás |
|
|
|
I. Primitív függvény fogalma
II. Elemi primitív függvények, alapintegrálok
III. Integrálási szabályok
IV. Parciális integrálás
V. Helyettesítéses integrálás
VI. Racionális törtek integrálása résztörtekre bontással
VII. Határozott integrál: terület, ívhossz, felszín, térfogat
VIII. Improprius integrálok
IX. Kettős integrál
Primitív függvény fogalma
Az f(x) függvény primitívfüggvénye F(x), ha:

Az f(x) függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, melyek csupán egy konstansban különböznek egymástól:

Az összes primitív függvény halmazát határozatlan integrálnak nevezzük, jelölése:

f(x) függvény az integrandus, dx az integrálási változó: 
Elemi primitív függvények, alapintegrálok
Lényegében az integrálás és a deriválás egymás inverz műveletei, ezért a derivált
függvényeket integrálva vissza kell kapnunk az eredeti függvényt. Az integrálással
kapott eredményt így utólag bármikor ellenőrizhetjük (jegyezzük meg, léteznek olyan
függvények is, melyek nem deriváltjai semmilyen más függvénynek,
ezek csak közelítésekkel integrálhatóak).
Például: 
A legfontosabb elemi függvények primitív függvényei levezethetőek. Néhány primitívfüggvény
feltüntetve a régi magyar és a nemzetközi jelölést egyidejűleg:

Integrálási szabályok
A konstans integráláskor mindig kiemelhető:

A következő néhány szabály az összetett függvények deriválásával kapcsolatos. Ha nem elemi
primitívfüggvénnyel van dolgunk, mindig keressünk egy összetett függvényt, és annak belső
függvényét deriválva, keressünk összefüggést az egymást szorzó függvények között. A
feladatmegoldásban többnyire némi algebrai átalakítást követően használhatóak:

Parciális integrálás
A parciális integrálás módszere a szorzatfüggvény deriválási szabályából vezethető le:

3 jellemző típusa fordul elő, a kiindulás típusonként eltérő.
Az elsőnél egy polinom szoroz trigonometrikus vagy exponenciális függvényt,
a másodiknál egy polinom szoroz inverzfüggvényt függvényt,
a harmadiknál egy trigonometrikus függvény szoroz vagy exponenciálisat:

Helyettesítéses integrálás
Ha az előző módszerek "csődöt" mondtak, bevethetjük a helyettesítéses integrálás módszerét.
Ennél a módszernél valamilyen "zavaró", "csúnya" kifejezést helyettesítünk egy változóval, így
egyszerűbb, más módon integrálható függvényeket kapunk. Fontos megjegyezni, hogy ekkor a változó
csere miatt az integrálási differenciális változó is cserélődik.
Például ennél a feladatnál a kifejezést helyettesítve:

A helyettesítést alkalmazva egy parciális integrálással könnyen megoldható feladatot kapunk:

Más feladatokban ennél bonyolultabb, rafináltabb helyettesítést kell alkalmaznunk,
mely igen hosszadalmas megoldásmenethez vezethet (más út azonban nincs).
Racionális törtek integrálása résztörtekre bontással
Törtek integrálásakor először mindig megnézzük, hogy alkalmazható-e a nevezetes integrálási szabály:

Azonban sokszor ez átalakításokkal sem lehetséges, ekkor megpróbáljuk kisebb részfeladatokra bontani az eredeti feladatot:

A résztörteke bontás módszere itt olvasható.
Ez a módszer is könnyen vezethet hosszadalmas megoldáshoz.
Határozott integrál: terület, ívhossz, felszín, térfogat
Az ún. határozott integrál segítségével számos gyakorlati feladat megoldható.
Értéke a Newton-Leibniz formula segítségével számítható:

A határozott integrál segítségével számítható a görbe alatti terület, vagy függvénygörbék által közrefogott zárt terület,
továbbá az ívhossz, a görbedarabok valamely koordinátatengely körüli forgatásával kapott forgástest palástjának felszíne,
térfogata (és más egyebek is, pl síkidomok másodrendű nyomatékai).
Például az f(x) függvénygörbe alatti terület, illetve f(x) és g(x) görbék közrezárt területe így számítható:

Előbbi paraméteresen is számítható:

Az ívhossz számítási képlete (a második a paraméteresen megadott függvényekre vonatkozik):

Az f(x) görbedarab x koordinátatengely körüli forgatásával kapott forgástest palástjának felszíne (a második a paraméteresen megadott függvényekre vonatkozik):

Az f(x) görbedarab y koordinátatengely körüli forgatásával kapott forgástest palástjának felszíne (a második a paraméteresen megadott függvényekre vonatkozik):

Az f(x) görbedarab x koordinátatengely körüli forgatásával kapott forgástest térfogata (a második a paraméteresen megadott függvényekre vonatkozik):

Az f(x) görbedarab y koordinátatengely körüli forgatásával kapott forgástest térfogata (a második a paraméteresen megadott függvényekre vonatkozik):

A képletekben f(x) függvény inverzét jelöli.
Improprius integrálok
A határozott integrálok között előfordulnak olyanok, melyeknél valamelyik határ végtelen nagy,
ekkor egy új változót bevezetve határértékszámítási feladatra jutunk.
Példa: 
Határozatlan integrálok között előfordulnak olyanok, melyeknél valamely véges határnál a függvény nem értelmezhető,
ekkor egy új változót bevezetve határértékszámítási feladatra jutunk.
Példa: 
Előfordulhat olyan eset is, hogy a határozott integrál két határa között egy helyen adódik probléma,
ekkor két részre kell bontanunk az integrált:

Kettős integrál
Kettős integrálok segítségével kétváltozós függvények alatti térrész térfogatát tudjuk kiszámolni:
Például: 
www.maths.hu
|