I. Primitív függvény fogalma
II. Elemi primitív függvények, alapintegrálok
III. Integrálási szabályok
IV. Parciális integrálás
V. Helyettesítéses integrálás
VI. Racionális törtek integrálása résztörtekre bontással
VII. Határozott integrál: terület, ívhossz, felszín, térfogat
VIII. Improprius integrálok
IX. Kettős integrál

Primitív függvény fogalma

Az f(x) függvény primitívfüggvénye F(x), ha:

Az f(x) függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, melyek csupán egy konstansban különböznek egymástól:

Az összes primitív függvény halmazát határozatlan integrálnak nevezzük, jelölése:

f(x) függvény az integrandus, dx az integrálási változó:   
Elemi primitív függvények, alapintegrálok

Lényegében az integrálás és a deriválás egymás inverz műveletei, ezért a derivált függvényeket integrálva vissza kell kapnunk az eredeti függvényt. Az integrálással kapott eredményt így utólag bármikor ellenőrizhetjük (jegyezzük meg, léteznek olyan függvények is, melyek nem deriváltjai semmilyen más függvénynek, ezek csak közelítésekkel integrálhatóak).
Például:   
A legfontosabb elemi függvények primitív függvényei levezethetőek. Néhány primitívfüggvény feltüntetve a régi magyar és a nemzetközi jelölést egyidejűleg:


Integrálási szabályok

A konstans integráláskor mindig kiemelhető:

A következő néhány szabály az összetett függvények deriválásával kapcsolatos. Ha nem elemi primitívfüggvénnyel van dolgunk, mindig keressünk egy összetett függvényt, és annak belső függvényét deriválva, keressünk összefüggést az egymást szorzó függvények között. A feladatmegoldásban többnyire némi algebrai átalakítást követően használhatóak:


Parciális integrálás

A parciális integrálás módszere a szorzatfüggvény deriválási szabályából vezethető le:

3 jellemző típusa fordul elő, a kiindulás típusonként eltérő.
Az elsőnél egy polinom szoroz trigonometrikus vagy exponenciális függvényt,
a másodiknál egy polinom szoroz inverzfüggvényt függvényt,
a harmadiknál egy trigonometrikus függvény szoroz vagy exponenciálisat:


Helyettesítéses integrálás

Ha az előző módszerek "csődöt" mondtak, bevethetjük a helyettesítéses integrálás módszerét. Ennél a módszernél valamilyen "zavaró", "csúnya" kifejezést helyettesítünk egy változóval, így egyszerűbb, más módon integrálható függvényeket kapunk. Fontos megjegyezni, hogy ekkor a változó csere miatt az integrálási differenciális változó is cserélődik.
Például ennél a feladatnál a kifejezést helyettesítve:

A helyettesítést alkalmazva egy parciális integrálással könnyen megoldható feladatot kapunk:

Más feladatokban ennél bonyolultabb, rafináltabb helyettesítést kell alkalmaznunk, mely igen hosszadalmas megoldásmenethez vezethet (más út azonban nincs).

Racionális törtek integrálása résztörtekre bontással

Törtek integrálásakor először mindig megnézzük, hogy alkalmazható-e a nevezetes integrálási szabály:

Azonban sokszor ez átalakításokkal sem lehetséges, ekkor megpróbáljuk kisebb részfeladatokra bontani az eredeti feladatot:

A résztörteke bontás módszere itt olvasható. Ez a módszer is könnyen vezethet hosszadalmas megoldáshoz.

Határozott integrál: terület, ívhossz, felszín, térfogat

Az ún. határozott integrál segítségével számos gyakorlati feladat megoldható. Értéke a Newton-Leibniz formula segítségével számítható:

A határozott integrál segítségével számítható a görbe alatti terület, vagy függvénygörbék által közrefogott zárt terület, továbbá az ívhossz, a görbedarabok valamely koordinátatengely körüli forgatásával kapott forgástest palástjának felszíne, térfogata (és más egyebek is, pl síkidomok másodrendű nyomatékai).

Például az f(x) függvénygörbe alatti terület, illetve f(x) és g(x) görbék közrezárt területe így számítható:

Előbbi paraméteresen is számítható:

Az ívhossz számítási képlete (a második a paraméteresen megadott függvényekre vonatkozik):

Az f(x) görbedarab x koordinátatengely körüli forgatásával kapott forgástest palástjának felszíne (a második a paraméteresen megadott függvényekre vonatkozik):

Az f(x) görbedarab y koordinátatengely körüli forgatásával kapott forgástest palástjának felszíne (a második a paraméteresen megadott függvényekre vonatkozik):

Az f(x) görbedarab x koordinátatengely körüli forgatásával kapott forgástest térfogata (a második a paraméteresen megadott függvényekre vonatkozik):

Az f(x) görbedarab y koordinátatengely körüli forgatásával kapott forgástest térfogata (a második a paraméteresen megadott függvényekre vonatkozik):


A képletekben    f(x) függvény inverzét jelöli.

Improprius integrálok

A határozott integrálok között előfordulnak olyanok, melyeknél valamelyik határ végtelen nagy, ekkor egy új változót bevezetve határértékszámítási feladatra jutunk.
Példa:

Határozatlan integrálok között előfordulnak olyanok, melyeknél valamely véges határnál a függvény nem értelmezhető, ekkor egy új változót bevezetve határértékszámítási feladatra jutunk.
Példa:
Előfordulhat olyan eset is, hogy a határozott integrál két határa között egy helyen adódik probléma, ekkor két részre kell bontanunk az integrált:


Kettős integrál

Kettős integrálok segítségével kétváltozós függvények alatti térrész térfogatát tudjuk kiszámolni:
Például:

www.maths.hu