::Témakörök »Differenciálszámítás»Kredites feladatok

Összesen 79 feladat

» Ingyenes feladatok listája
432. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása

Igazold, hogy az f(x) függvénynek egyetlen zérushelye van a [2;3] zárt intervallumon!


424. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális

Adott az alábbi f(x) függvény. Keressük meg, hogy az f(x) függvény tetszőleges pontjában húzott érintőegyenes meredeksége hol lesz legnagyobb illetve legkisebb!


423. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális

Keresd meg az f(x) függvény azon pontját, melyben húzott érintő a koordinátarendszer első negyedéből 0,5 egységnyi területet metsz le!


410. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat

Deriváltak segítségével jellemezd és ábrázold a g(x) függvényt!

Add meg a függvény határértékét x=0-ban, 4-ben, pozitív és negatív végtelenben!


411. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok

Legyen az f(x) függvény az alábbi módon definiált:

f: R→R, f(x)= –ax+b, ahol

a: annak a hónapnak a száma, amikor születtél,
b: a születésed napja.

a) Vázold és jellemezd az f(x) függvényt!
b) Add meg az f º f függvényt!
c) Add meg az f (10) ( x) függvényt!


322. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat

Végezd el a teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényre, foglald össze az eredményeket táblázatosan (szemléltesd a függvénygörbét)!


321. feladat Nehézségi szint: 6 kredit
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat

Végezd el a teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényre, foglald össze az eredményeket táblázatosan (szemléltesd a függvénygörbét)!

Végezd el a paritásvizsgálatot is!


303. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok

Egy termék árát a p(x) függvény adja meg eFt-ban ahol "x" a gyártott darabszám. A gyártó legfeljebb 250 darabot tud előállítani. "x" darabszám esetén a gyártás önköltségét a K(x) függvény írja le (eFt-ban).

a/ Add meg a termék árát, az így elért bevételt, a gyártás önköltségét, és az elért nyereséget x=100 db előállítása esetén.
b/ Milyen darabszám esetén lesz az elérhető bevétel maximális? Hány százalék a profit termékdarabonként?
c/ Milyen darabszám esetén lesz az elérhető nyereség maximális? Hány százalék a profit termékdarabonként?
d/ Ha a nyereség maximális, hány százalékkal alacsonyabb a bevétel az elérhető maximumhoz képest?
e/ Ha a bevétel a maximális, hány százalékkal alacsonyabb a nyereség az elérhető maximumhoz képest?


301. feladat Nehézségi szint: 6 kredit
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat

Végezd el a teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényre, foglald össze az eredményeket táblázatosan, a függvénygörbét vázold fel!


293. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat

Végezd el a teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényre, foglald össze az eredményeket táblázatosan, a függvénygörbét vázold fel!

Végezd el a paritásvizsgálatot is!


292. feladat Nehézségi szint: 6 kredit
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat

Végezd el a teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényre, foglald össze az eredményeket táblázatosan, végezd el a paritásvizsgálatot, majd a függvénygörbét vázold fel!


291. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat

Végezd el a teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényre, foglald össze az eredményeket táblázatosan (a függvénygörbét felvázolni nem szükséges)!

Végezd el a paritásvizsgálatot is!


290. feladat Nehézségi szint: 9 kredit
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat

Végezd el a teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényre, foglald össze az eredményeket táblázatosan, majd vázold grafikusan a függvényt a jellemző pontokat feltüntetve!


279. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Inflexiós pont

Vizsgáld meg, létezik-e az alábbi függvények inflexiós pontja! Ha igen, akkor hol, ha nem akkor miért nem?


278. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Inflexiós pont

Igazold, hogy az alábbi függvénynek létezik inflexiós pontja:


277. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Konvexitás

Vizsgáld meg az alábbi függvény konvexitását!


276. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Konvexitás

Vizsgáld meg az alábbi függvény konvexitását!


275. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Konvexitás

Vizsgáld meg az alábbi függvény konvexitását!


274. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Konvexitás

Vizsgáld meg az alábbi függvény konvexitását!


273. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása

Keresd meg az alábbi függvény lehetséges szélsőértékeit! Az eredményeket foglald össze táblázatosan!


272. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása

Keresd meg az alábbi függvény lehetséges szélsőértékeit! Az eredményeket foglald össze táblázatosan!


271. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása

Keresd meg az alábbi függvény lehetséges szélsőértékeit! Az eredményeket foglald össze táblázatosan!


270. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása

Vizsgáld meg az alábbi függvény monotonitását, és add meg a monotonitási intervallumokat! Az eredményeket táblázatosan is tüntessed fel!


269. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása

Írd fel az alábbi összetett függvények deriváltjait! (Értelmezési tartomány meghatározása nem szükséges!)


268. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása

Keresd meg az alábbi függvény szélsőértékét, és add meg a monotonitási intervallumokat! Az eredményeket táblázatosan is tüntesd fel!


267. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása

Vizsgáld meg az alábbi függvény monotonitását, és add meg a monotonitási intervallumokat! Az eredményeket táblázatosan is tüntesd fel, majd vázold fel a függvény görbéjét!


266. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása

Írd fel az alábbi összetett függvények deriváltjait! (Értelmezési tartomány meghatározása nem szükséges!)


265. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása

Írd fel az alábbi összetett függvények deriváltjait! (Értelmezési tartomány meghatározása nem szükséges!)


264. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása

Írd fel az alábbi összetett függvények deriváltjait! (Értelmezési tartomány meghatározása nem szükséges!)


263. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása

Írd fel az alábbi összetett függvények deriváltjait! (Értelmezési tartomány meghatározása nem szükséges!)


262. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok

Írd fel az alábbi törtek és szorzatok deriváltjait!


261. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli differenciálhatóság

Írd fel az alábbi függvény differenciálhányadosfüggvényét!
"p" paraméter mely értéke mellett lesz f(x) függvény differenciálható az x=1/2 pontban?


260. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli differenciálhatóság

Vizsgáld meg az f(x) függvény x=a=3 pontjában a pontbeli differenciálhatóságot!


259. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális

Adott a valós számok halmazán értelmezett f(x) függvény.

a/ Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, mely az origón átmegy, és az f(x) függvénygörbét érinti.

b/ Keresd meg az f(x) függvény azon pontját, ahol a pontbeli normális párhuzamos a 2y+x=5 egyenletű egyenessel! Írd fel ebben a pontban is az érintő egyenletét!


258. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális

Írd fel az adott f(x) függvény azon érintőjének egyenletét, mely párhuzamos a megadott "e" egyenessel:


257. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása

Adott a valós számok halmazán értelmezett f(x) és g(x) függvény. Írd fel az alábbi függvényeket, deriváltjaikat, és add meg az értelmezési tartományukat is!


255. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása

Adott három különböző függvény: f(x), g(x), h(x).
- Írd fel deriváltjaikat!
- Képezd a felírt két összetett függvényt, és írd fel azok deriváltját!

(az egyes részfeladatok eredményeit a megoldásnál felhasználhatod)


249. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális

Határozd meg az alábbi függvény inflexiós pontjában (ha az létezik), az érintő egyenletét!


231. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása

Írd fel az alábbi függvények deriváltját!


230. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása

Írd fel az alábbi függvények deriváltját!


229. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok

Írd fel az alábbi törtek deriváltját!


228. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok

Írd fel az alábbi szorzatok deriváltját!


227. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok

Írd fel az alábbi függvények deriváltjait az elemi exponenciális és logaritmus függvények deriváltjai alapján!


226. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok

Írd fel az alábbi elemi exponenciális és logaritmus függvények deriváltjait!


225. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok

Írd fel az alábbi hatványfüggvények deriváltjait (irracionális alakban is)!


131. feladat Nehézségi szint: 6 kredit
» Differenciálszámítás » Implicit függvény deriválása

Írd fel az alábbi implicit alakban megadott egyváltozós függvény első és második deriváltját!
a/ Számítsd ki az x=1 helyen a függvényértéket és az első derivált értékét is!
b/ Vizsgáld meg az x=1 pontban a függvény monotonitását!


130. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Implicit függvény deriválása

Deriváld az alábbi implicit alakban megadott egyváltozós függvényt! Írd fel az első deriváltat, értelmezd a kapott eredményt!


129. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Implicit függvény deriválása

Deriváld az alábbi implicit alakban megadott egyváltozós függvényt! Írd fel az első deriváltat, értelmezd a kapott eredményt!


85. feladat Nehézségi szint: 6 kredit
» Differenciálszámítás » Pontelaszticitás

A megadott függvény egy termék iránti keresletet adja meg az ár (x) függvényében.
a/ Számítsd ki a pontelaszticitást a megadott helyeken, és értelmezd az eredményt!
b/ Mely ár mellett lesz a kereslet változása elhanyagolható?


36. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok

Két pozitív valós szám összege tíz. Hogyan válasszuk meg ezeket a számokat, hogy négyzetük és köbük összege minimális legyen?


35. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok

Az alábbi táblázat tartalmazza 3 részvény aktuális és várható árfolyamát (Ft-ban) a dollárban mért olajár változás (x) függvényében.
Portfólióm az alábbi:
- 500 db Légyvidám Zrt. részvény
- 1950 db LilaAkác Zrt. részvény
- 500 db Nyárfa Zrt. részvény
Milyen olajárváltozás mellett éri el a portfólió a legnagyobb értékét, és mennyi ez a változás?


34. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok

Egy termék árát az alábbi p(x) függvény adja meg a a gyártott darabszám (x) függvényében.
a/ Írd fel a bevételt leíró függvényt és add meg értelmezési tartományát!
b/ Mely darabszám mellett lesz a bevétel maximális? Add meg ezt a maximális bevételt!


33. feladat Nehézségi szint: 6 kredit
» Differenciálszámítás » Inflexiós pont

Határozd meg az alábbi függvény inflexiós pontjait, ha azok léteznek!


32. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Inflexiós pont

Határozd meg az alábbi függvény inflexiós pontjait, ha azok léteznek! És írd fel az egyik pontban a függvény érintőjének egyenletét is!


30. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Konvexitás

Vizsgáld meg az alábbi függvény konvexitását, és add meg a konvex, konkáv intervallumokat!


29. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Konvexitás

Vizsgáld meg az alábbi racionális törtfüggvény konvexitását, és add meg a konvex, konkáv intervallumokat!


28. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Konvexitás

Vizsgáld meg az alábbi függvény konvexitását, és add meg a konvex, konkáv intervallumokat!


27. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása

Vizsgáld meg az alábbi függvény monotonitását, és add meg a monotonitási intervallumokat!


26. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása

Határozd meg az alábbi függvény lokális szélsőértékét, ha az létezik!


25. feladat Nehézségi szint: 9 kredit
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása

Határozd meg az alábbi függvény lokális szélsőértékét, ha az létezik!


23. feladat Nehézségi szint: 9 kredit
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat

Végezd el a teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényre, foglald össze az eredményeket táblázatosan, majd vázold grafikusan a függvényt a jellemző pontokat feltüntetve!


21. feladat Nehézségi szint: 6 kredit
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása

Vizsgáld meg az alábbi függvény monotonitását, és add meg a monotonitási intervallumokat!


20. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása

Vizsgáld meg az alábbi függvény monotonitását, és add meg a monotonitási intervallumokat!


19. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása

Vizsgáld meg az alábbi függvény monotonitását, és add meg a monotonitási intervallumokat!


18. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása

Vizsgáld meg az alábbi függvény monotonitását, és add meg a monotonitási intervallumokat!


17. feladat Nehézségi szint: 9 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális

Keressük meg a megadott egyváltozós függvény azon pontját, ahol a pontbeli érintőegyenes párhuzamos a 3x-y+1=0 egyenletű egyenessel! Ha létezik ilyen pont, írjuk is fel az érintő egyenletét!


16. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális

Határozzuk meg, hogy a megadott egyváltozós függvény mely pontjaiban vízszintes az érintőegyenes! Írjuk fel ebben a pontban az érintő egyenletét!


15. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális

Írjuk fel a megadott egyváltozós függvény x=1 pontjában az érintőegyenes egyenletét!


13. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Paraméteres függvény deriválása

Határozd meg az alábbi paraméteresen megadott függvény x változó szerinti első deriváltját a t paraméter függvényében!
Add meg a derivált függvény értelmezési tartományát a t paraméter függvényében!


12. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli differenciálhatóság

Differenciálható-e az alábbi f(x) függvény az x=a helyen?
Értelmezzük geometriailag a kapott eredményt!


11. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Pontbeli differenciálhatóság

Differenciálható-e az alábbi f(x) függvény az x=a helyen?
- ha igen, értelmezd a geometriai jelentését!
- ha nem, mit jelent geometriailag, hogy az x=a pontban nem differenciálható?


10. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Differencia- és differenciálhányados

Írd fel az alábbi f(x) függvény pontbeli differenciahányadosát az x=a helyen.
a/ Számítsd ki az x=3 helyen a differenciahányados értékét!
b/ Ellenőrizd a differenciahányados definíciója alapján a számított eredményt!
c/ Mi a differenciahányados geometriai jelentése? Ábrázold a függvényt Descartes-féle koordinátarendszerben, és szemléltesd a számított eredményt!


9. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Differencia- és differenciálhányados

Írd fel az alábbi f(x) függvény pontbeli differenciahányadosát az x=a helyen


8. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Paraméteres függvény deriválása

Határozd meg az alábbi paraméteresen megadott függvény x változó szerinti első és második deriváltját a t paraméter függvényében!


7. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Magasabbrendű deriváltak

Add meg az alábbi függvény első, második és harmadik deriváltját a legrövidebb alakban!


6. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása

Határozd meg az alábbi függvény deriváltját, és add meg a derivált függvény értelmezési tartományát is!


4. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok

Határozd meg az alábbi törtfüggvény deriváltját, és add meg a derivált függvény értelmezési tartományát is!


3. feladat Nehézségi szint: 2 kredit
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok

Határozzuk meg az alábbi függvény deriváltját, és adjuk meg a derivált függvény értelmezési tartományát is!


2. feladat Nehézségi szint: 3 kredit
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok

Határozzuk meg az alábbi függvény deriváltját, és adjuk meg a derivált függvény értelmezési tartományát is!


» Ingyenes feladatok listája


I. Differencia- és differenciálhányados
II. Pontbeli differenciálhatóság
III. Elemi függvények deriváltjai
IV. Összetett függvények, deriválási szabályok
V. Implicit függvény deriváltja
VI. Teljes függvényvizsgálat
Monotonitás és szélsőérték - Konvexitás és inflexiós pont


VII. Pontbeli érintő és normális
VIII. Pontelaszticitás
IX. Szöveges szélsőérték feladat

Differencia- és differenciálhányados

Az f(x) függvény x=a helyen felírt differenciahányadosa definíció szerint a függvényérték változás és a független változó (x) megváltozásának a hányadosa:

Az f(x) függvény x=a helyen érvényes differenciálhányadosa definíció szerint a differenciahányadosa határértéke, amennyiben az létezik:


Pontbeli differenciálhatóság

Ha létezik a differenciahányados határértéke, akkor az x=a pontban az f(x) függvény differenciálható, ellenkező esetben nem. Tipikus eset az, amikor két függvénygörbe nem érintőlegesen csatlakozik egymáshoz, ekkor a differenciahányados bal- és jobboldali határértéke nem egyezik meg, és ezért ebben a pontban a függvény nem differenciálható.

A differenciahányados geometriailag a két pontot összekötő húr meredeksége, míg a differenciálhányados az f(x) függvény x=a pontbeli érintőjének meredekségét adja meg:


Olyan x=a helyen, ahol balról és jobbról nem ugyanaz a függvény érvényes, a differenciahányados határértékét balról és jobbról is számolni kell. Ha a két határérték megegyezik, létezik a határérték, ellenkező esetben nem:


Feladatok között előfordul még az f(x) függvény differenciahányados függvénye is. Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciahányados függvény is szakaszokból áll. A differenciahányados függvény az x=a helyen sosem értelmezhető, mivel a nevező nem lehet 0.

Elemi függvények deriváltjai

Egy elemi függvény deriváltját (deriváltfüggvényét, azaz differenciálhányadosfüggvényét) a határértékszámítás eszközeivel egy általános x=a helyen tudjuk levezetni. Mivel az x=a hely egy általános hely, a teljes függvényre érvényes lesz az eredmény.

Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciálhányados függvény is szakaszokból áll. A differenciálhányados függvény az x=a helyen is értelmezhető, ha létezik a differenciahányados határértéke, ellenkező esetben nem.

A gyakorlatban az elemi függvények levezetéssel kapott deriváltfüggvényeit táblázatból keressük ki, illetve memorizáljuk.

Összetett függvények, deriválási szabályok

Összetett függvény deriválását célszerű kivülről befelé haladva végezni, azaz először a legkülső függvényt deriváljuk, majd annak belső függvényét, és így tovább. Ez a láncszabály.


Konstans a deriváláskor kiemelhető:


Függvények összege, különbsége tagonként deriválható:


Függvények szorzatának deriválási szabálya:


Törtfüggvény deriválási szabálya:


Feladatmegoldás során sose feledkezzünk meg az értelmezési tartomány felírásáról sem!

Implicit függvény deriváltja

Előfordul, hogy egy feladatban a függvénykapcsolat nem adható meg explicit formában:
Példa az explicit megadásra (y kifejezhető):


Példa az implicit megadásra (az f(x) függvényt y jelöli, és y nem fejezhető ki):


Implicit deriváláskor minden y-t tartalmazó kifejezést összetett függvényként kezelek, pl a fenti példában y deriváltja y', vagy y2 deriváltja 2y•y':



Vegyük észre, hogy többnyire a derivált is implicit alakú!

Teljes függvényvizsgálat - Monotonitás és szélsőérték - Konvexitás és inflexiós pont

A teljes függvényvizsgálat szempontjai:
   - értelmezési tartomány,
   - határértékek az értelmezési tartomány határainál, azaz
      - határérték a pozitív és negatív végtelenben (ha ott értelmezve van a függvény),
      - határérték (bal- és jobboldali) az összes véges helyen, ahol a függvény nem értelmezhető,
   - függvény zérushelyei:
   - paritásvizsgálat, azaz páros-, vagy páratlan-e a függvény (vagy egyik se)
   - függvény monotonitása:


   - függvény szélsőértéke (minimum, maximum):
      elégséges feltételt is nézni kell (a derivált váltson előjelet a vizsgált helyen)!
      lokális minimum esetén a függvényérték csökkenést követően növekedik,
      lokális maximum esetén a függvényérték növekedést követően csökken,


   - függvény konvexitása (konvex fv.görbe alulról nézve gömbölyű, a konkáv felülről):


   - függvény inflexiós pontja:
      elégséges feltételt is nézni kell (a második derivált váltson előjelet a vizsgált helyen)!


Pontbeli érintő és normális

Az f(x) függvény x=a pontbeli első deriváltjának értéke a függvénygörbe érintőjének meredekségét adja meg, így az érintő egyenlete:


Az f(x) függvény x=a pontbeli érintőjére merőleges az ugyanezen a ponton átmenő normális, melynek egyenlete:


Vegyük észre, hogy a két meredekség szorzata -1:


Pontelaszticitás

A függvény x=a pontjában a pontelaszticitás számértéke százalékosan megadja, hogy a független változó 1 %-os fajlagos megváltozásához a függvényérték hány százalékos fajlagos megváltozása tartozik. A pontelaszticitás számítási képlete határértékszámítással adódik:
   

Példa 1:
Ha x=3 helyen E(3)= -2, akkor az x=3 helyen x 1 %-os növelésével a függvényérték várhatóan 2 %-kal csökken!
Példa 2:
Ha x=3 helyen E(3)= +1,2, akkor az x=3 helyen x 1 %-os növelésével a függvényérték várhatóan 1,2 %-kal nő!

Általánosíthatunk is, azaz képezhetjük az úgynevezett elaszticitás függvényt is, mely tetszőleges x pontban megadja az elaszticitás százalékos értékét:


Szöveges szélsőérték feladat

Szöveges feladatok esetében előfordulhat, hogy valamely vizsgált jellemző szélsőértékét, azaz maximumát, minimumát keressük. Ekkor fel kell írnunk a vizsgált jellemzőt leíró függvényt, s annak (általában) lokális maximumát vagy minimumát keresni. Ezt a függvény szélsőérték vizsgálatával tehetjük meg, miután a szöveges feladat alapján saját magunk írtuk fel a vizsgálandó függvényt.

www.maths.hu

Bejelentkezés

 Jelszó:
Elfelejtett jelszó
Regisztráció
matek korrepetálás


Mai látogatók: 
Regisztrált felhasználók:    1880
Ügyfélszolgálat (9-22 között)
06 (20) 396-03-74
VÁRJUK A VÉLEMÉNYED!

Mely témakörök érdekelnek Téged?
 Sorozatok
 Differenciálszámítás
 Függv., határérték, folytonosság
 Többváltozós függvények
 Integrálszámítás
 Differenciálegyenletek
 Komplex számok
 Valószínűségszámítás
 Matematikai statisztika
 Lineáris algebra, mátrixok

Hol hallottál a maths.hu oldalról?
 az interneten találtam
 újságban olvastam
 plakáton láttam
 ismerősöm mesélte



Szavazás állása

Egyéb oldalak

www.webtelefonkonyv.hu

Javasolt böngészők

Microsoft Internet ExplorerMicrosoft Edge
Google ChromeGoogle Chrome
Link firefox.huFirefox
OperaOpera