I. Differencia- és differenciálhányados
II. Pontbeli differenciálhatóság
III. Elemi függvények deriváltjai
IV. Összetett függvények, deriválási szabályok
V. Implicit függvény deriváltja
VI. Teljes függvényvizsgálat
Monotonitás és szélsőérték - Konvexitás és inflexiós pont

VII. Pontbeli érintő és normális
VIII. Pontelaszticitás
IX. Szöveges szélsőérték feladat

Differencia- és differenciálhányados

Az f(x) függvény x=a helyen felírt differenciahányadosa definíció szerint a függvényérték változás és a független változó (x) megváltozásának a hányadosa:

Az f(x) függvény x=a helyen érvényes differenciálhányadosa definíció szerint a differenciahányadosa határértéke, amennyiben az létezik:


Pontbeli differenciálhatóság

Ha létezik a differenciahányados határértéke, akkor az x=a pontban az f(x) függvény differenciálható, ellenkező esetben nem. Tipikus eset az, amikor két függvénygörbe nem érintőlegesen csatlakozik egymáshoz, ekkor a differenciahányados bal- és jobboldali határértéke nem egyezik meg, és ezért ebben a pontban a függvény nem differenciálható.

A differenciahányados geometriailag a két pontot összekötő húr meredeksége, míg a differenciálhányados az f(x) függvény x=a pontbeli érintőjének meredekségét adja meg:


Olyan x=a helyen, ahol balról és jobbról nem ugyanaz a függvény érvényes, a differenciahányados határértékét balról és jobbról is számolni kell. Ha a két határérték megegyezik, létezik a határérték, ellenkező esetben nem:


Feladatok között előfordul még az f(x) függvény differenciahányados függvénye is. Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciahányados függvény is szakaszokból áll. A differenciahányados függvény az x=a helyen sosem értelmezhető, mivel a nevező nem lehet 0.

Elemi függvények deriváltjai

Egy elemi függvény deriváltját (deriváltfüggvényét, azaz differenciálhányadosfüggvényét) a határértékszámítás eszközeivel egy általános x=a helyen tudjuk levezetni. Mivel az x=a hely egy általános hely, a teljes függvényre érvényes lesz az eredmény.

Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciálhányados függvény is szakaszokból áll. A differenciálhányados függvény az x=a helyen is értelmezhető, ha létezik a differenciahányados határértéke, ellenkező esetben nem.

A gyakorlatban az elemi függvények levezetéssel kapott deriváltfüggvényeit táblázatból keressük ki, illetve memorizáljuk.

Összetett függvények, deriválási szabályok

Összetett függvény deriválását célszerű kivülről befelé haladva végezni, azaz először a legkülső függvényt deriváljuk, majd annak belső függvényét, és így tovább. Ez a láncszabály.


Konstans a deriváláskor kiemelhető:


Függvények összege, különbsége tagonként deriválható:


Függvények szorzatának deriválási szabálya:


Törtfüggvény deriválási szabálya:


Feladatmegoldás során sose feledkezzünk meg az értelmezési tartomány felírásáról sem!

Implicit függvény deriváltja

Előfordul, hogy egy feladatban a függvénykapcsolat nem adható meg explicit formában:
Példa az explicit megadásra (y kifejezhető):


Példa az implicit megadásra (az f(x) függvényt y jelöli, és y nem fejezhető ki):


Implicit deriváláskor minden y-t tartalmazó kifejezést összetett függvényként kezelek, pl a fenti példában y deriváltja y', vagy y² deriváltja 2y•y':



Vegyük észre, hogy többnyire a derivált is implicit alakú!

Teljes függvényvizsgálat - Monotonitás és szélsőérték - Konvexitás és inflexiós pont

A teljes függvényvizsgálat szempontjai:
   - értelmezési tartomány,
   - határértékek az értelmezési tartomány határainál, azaz
      - határérték a pozitív és negatív végtelenben (ha ott értelmezve van a függvény),
      - határérték (bal- és jobboldali) az összes véges helyen, ahol a függvény nem értelmezhető,
   - függvény zérushelyei:
   - paritásvizsgálat, azaz páros-, vagy páratlan-e a függvény (vagy egyik se)
   - függvény monotonitása:


   - függvény szélsőértéke (minimum, maximum):
      elégséges feltételt is nézni kell (a derivált váltson előjelet a vizsgált helyen)!
      lokális minimum esetén a függvényérték csökkenést követően növekedik,
      lokális maximum esetén a függvényérték növekedést követően csökken,


   - függvény konvexitása (konvex fv.görbe alulról nézve gömbölyű, a konkáv felülről):


   - függvény inflexiós pontja:
      elégséges feltételt is nézni kell (a második derivált váltson előjelet a vizsgált helyen)!


Pontbeli érintő és normális

Az f(x) függvény x=a pontbeli első deriváltjának értéke a függvénygörbe érintőjének meredekségét adja meg, így az érintő egyenlete:


Az f(x) függvény x=a pontbeli érintőjére merőleges az ugyanezen a ponton átmenő normális, melynek egyenlete:


Vegyük észre, hogy a két meredekség szorzata -1:


Pontelaszticitás

A függvény x=a pontjában a pontelaszticitás számértéke százalékosan megadja, hogy a független változó 1 %-os fajlagos megváltozásához a függvényérték hány százalékos fajlagos megváltozása tartozik. A pontelaszticitás számítási képlete határértékszámítással adódik:
   

Példa 1:
Ha x=3 helyen E(3)= -2, akkor az x=3 helyen x 1 %-os növelésével a függvényérték várhatóan 2 %-kal csökken!
Példa 2:
Ha x=3 helyen E(3)= +1,2, akkor az x=3 helyen x 1 %-os növelésével a függvényérték várhatóan 1,2 %-kal nő!

Általánosíthatunk is, azaz képezhetjük az úgynevezett elaszticitás függvényt is, mely tetszőleges x pontban megadja az elaszticitás százalékos értékét:


Szöveges szélsőérték feladat

Szöveges feladatok esetében előfordulhat, hogy valamely vizsgált jellemző szélsőértékét, azaz maximumát, minimumát keressük. Ekkor fel kell írnunk a vizsgált jellemzőt leíró függvényt, s annak (általában) lokális maximumát vagy minimumát keresni. Ezt a függvény szélsőérték vizsgálatával tehetjük meg, miután a szöveges feladat alapján saját magunk írtuk fel a vizsgálandó függvényt.

www.maths.hu