|
|
» Kapcsolódó linkek
Differenciálszámítás
Ingyenes feladatok (6)
Kredites feladatok (79)
Jelmagyarázat
Nehézségi szint: 3
0 kredit INGYENES feladat
3 kredit KREDITES feladat
..témakör.. (3+10) : A zárójelben levő első szám az ingyenes, a második a Kredites feladatok számát jelenti.
|
|
5. feladat |
Nehézségi szint: |
0 kredit, ingyenes |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
432. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása |
|
|
14. feladat |
Nehézségi szint: |
0 kredit, ingyenes |
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális |
|
|
424. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális |
|
|
22. feladat |
Nehézségi szint: |
0 kredit, ingyenes |
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat |
|
|
423. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális |
|
|
24. feladat |
Nehézségi szint: |
0 kredit, ingyenes |
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása |
|
|
410. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat |
|
|
31. feladat |
Nehézségi szint: |
0 kredit, ingyenes |
» Differenciálszámítás » Inflexiós pont |
|
|
411. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok |
|
|
84. feladat |
Nehézségi szint: |
0 kredit, ingyenes |
» Differenciálszámítás » Pontelaszticitás |
|
|
322. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat |
|
|
321. feladat |
Nehézségi szint: |
6 kredit |
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat |
|
|
303. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok |
|
|
301. feladat |
Nehézségi szint: |
6 kredit |
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat |
|
|
293. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat |
|
|
292. feladat |
Nehézségi szint: |
6 kredit |
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat |
|
|
291. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat |
|
|
290. feladat |
Nehézségi szint: |
9 kredit |
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat |
|
|
279. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Inflexiós pont |
|
|
278. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Inflexiós pont |
|
|
277. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Konvexitás |
|
|
276. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Konvexitás |
|
|
275. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Konvexitás |
|
|
274. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Konvexitás |
|
|
273. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása |
|
|
272. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása |
|
|
271. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása |
|
|
270. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása |
|
|
269. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
268. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása |
|
|
267. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása |
|
|
266. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
265. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
264. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
263. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
262. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok |
|
|
261. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli differenciálhatóság |
|
|
260. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli differenciálhatóság |
|
|
259. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális |
|
|
258. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális |
|
|
257. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
255. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
249. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális |
|
|
231. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
230. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
229. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok |
|
|
228. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok |
|
|
227. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok |
|
|
226. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok |
|
|
225. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok |
|
|
131. feladat |
Nehézségi szint: |
6 kredit |
» Differenciálszámítás » Implicit függvény deriválása |
|
|
130. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Implicit függvény deriválása |
|
|
129. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Implicit függvény deriválása |
|
|
85. feladat |
Nehézségi szint: |
6 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontelaszticitás |
|
|
36. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok |
|
|
35. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok |
|
|
34. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok |
|
|
33. feladat |
Nehézségi szint: |
6 kredit |
» Differenciálszámítás » Inflexiós pont |
|
|
32. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Inflexiós pont |
|
|
30. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Konvexitás |
|
|
29. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Konvexitás |
|
|
28. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Konvexitás |
|
|
27. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása |
|
|
26. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása |
|
|
25. feladat |
Nehézségi szint: |
9 kredit |
» Differenciálszámítás » Szélsőérték meghatározása |
|
|
23. feladat |
Nehézségi szint: |
9 kredit |
» Differenciálszámítás » Teljes függvényvizsgálat |
|
|
21. feladat |
Nehézségi szint: |
6 kredit |
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása |
|
|
20. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása |
|
|
19. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása |
|
|
18. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Függvény monotonitása |
|
|
17. feladat |
Nehézségi szint: |
9 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális |
|
|
16. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális |
|
|
15. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli érintő és normális |
|
|
13. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Paraméteres függvény deriválása |
|
|
12. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli differenciálhatóság |
|
|
11. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Pontbeli differenciálhatóság |
|
|
10. feladat |
Nehézségi szint: |
5 kredit |
» Differenciálszámítás » Differencia- és differenciálhányados |
|
|
9. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Differencia- és differenciálhányados |
|
|
8. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Paraméteres függvény deriválása |
|
|
7. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Magasabbrendű deriváltak |
|
|
6. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Összetett függvények deriválása |
|
|
4. feladat |
Nehézségi szint: |
4 kredit |
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok |
|
|
3. feladat |
Nehézségi szint: |
2 kredit |
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok |
|
|
2. feladat |
Nehézségi szint: |
3 kredit |
» Differenciálszámítás » Elemi függvények, deriválási szabályok |
|
|
|
I. Differencia- és differenciálhányados
II. Pontbeli differenciálhatóság
III. Elemi függvények deriváltjai
IV. Összetett függvények, deriválási szabályok
V. Implicit függvény deriváltja
VI. Teljes függvényvizsgálat Monotonitás és szélsőérték - Konvexitás és inflexiós pont
VII. Pontbeli érintő és normális
VIII. Pontelaszticitás
IX. Szöveges szélsőérték feladat
Differencia- és differenciálhányados
Az f(x) függvény x=a helyen felírt differenciahányadosa definíció szerint a függvényérték változás és a független változó (x) megváltozásának a hányadosa:
Az f(x) függvény x=a helyen érvényes differenciálhányadosa definíció szerint a differenciahányadosa határértéke, amennyiben az létezik:
Pontbeli differenciálhatóság
Ha létezik a differenciahányados határértéke, akkor az x=a pontban az f(x) függvény differenciálható, ellenkező esetben nem.
Tipikus eset az, amikor két függvénygörbe nem érintőlegesen csatlakozik egymáshoz, ekkor a
differenciahányados bal- és jobboldali határértéke nem egyezik meg, és ezért ebben a pontban a függvény nem differenciálható.
A differenciahányados geometriailag a két pontot összekötő húr meredeksége, míg a
differenciálhányados az f(x) függvény x=a pontbeli érintőjének meredekségét adja meg:
Olyan x=a helyen, ahol balról és jobbról nem ugyanaz a függvény érvényes, a differenciahányados határértékét
balról és jobbról is számolni kell. Ha a két határérték megegyezik, létezik a határérték, ellenkező esetben nem:
Feladatok között előfordul még az f(x) függvény differenciahányados függvénye is.
Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciahányados függvény is szakaszokból áll.
A differenciahányados függvény az x=a helyen sosem értelmezhető, mivel a nevező nem lehet 0.
Elemi függvények deriváltjai
Egy elemi függvény deriváltját (deriváltfüggvényét, azaz differenciálhányadosfüggvényét) a határértékszámítás
eszközeivel egy általános x=a helyen tudjuk levezetni. Mivel az x=a hely egy általános hely, a teljes függvényre érvényes lesz az eredmény.
Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciálhányados függvény is szakaszokból áll.
A differenciálhányados függvény az x=a helyen is értelmezhető, ha létezik a differenciahányados határértéke, ellenkező esetben nem.
A gyakorlatban az elemi függvények levezetéssel kapott deriváltfüggvényeit táblázatból keressük ki, illetve memorizáljuk.
Összetett függvények, deriválási szabályok
Összetett függvény deriválását célszerű kivülről befelé haladva végezni, azaz először a
legkülső függvényt deriváljuk, majd annak belső függvényét, és így tovább. Ez a láncszabály.
Konstans a deriváláskor kiemelhető:
Függvények összege, különbsége tagonként deriválható:
Függvények szorzatának deriválási szabálya:
Törtfüggvény deriválási szabálya:
Feladatmegoldás során sose feledkezzünk meg az értelmezési tartomány felírásáról sem!
Implicit függvény deriváltja
Előfordul, hogy egy feladatban a függvénykapcsolat nem adható meg explicit formában:
Példa az explicit megadásra (y kifejezhető):
Példa az implicit megadásra (az f(x) függvényt y jelöli, és y nem fejezhető ki):
Implicit deriváláskor minden y-t tartalmazó kifejezést összetett függvényként kezelek,
pl a fenti példában y deriváltja y', vagy y2 deriváltja 2yy':
Vegyük észre, hogy többnyire a derivált is implicit alakú!
Teljes függvényvizsgálat - Monotonitás és szélsőérték - Konvexitás és inflexiós pont
A teljes függvényvizsgálat szempontjai:
- értelmezési tartomány,
- határértékek az értelmezési tartomány határainál, azaz
- határérték a pozitív és negatív végtelenben (ha ott értelmezve van a függvény),
- határérték (bal- és jobboldali) az összes véges helyen, ahol a függvény nem értelmezhető,
- függvény zérushelyei:
- paritásvizsgálat, azaz páros-, vagy páratlan-e a függvény (vagy egyik se)
- függvény monotonitása:
- függvény szélsőértéke (minimum, maximum):
elégséges feltételt is nézni kell (a derivált váltson előjelet a vizsgált helyen)!
lokális minimum esetén a függvényérték csökkenést követően növekedik,
lokális maximum esetén a függvényérték növekedést követően csökken,
- függvény konvexitása (konvex fv.görbe alulról nézve gömbölyű, a konkáv felülről):
- függvény inflexiós pontja:
elégséges feltételt is nézni kell (a második derivált váltson előjelet a vizsgált helyen)!
Pontbeli érintő és normális
Az f(x) függvény x=a pontbeli első deriváltjának értéke a függvénygörbe érintőjének
meredekségét adja meg, így az érintő egyenlete:
Az f(x) függvény x=a pontbeli érintőjére merőleges az ugyanezen a ponton átmenő normális, melynek egyenlete:
Vegyük észre, hogy a két meredekség szorzata -1:
Pontelaszticitás
A függvény x=a pontjában a pontelaszticitás számértéke százalékosan megadja, hogy a
független változó 1 %-os fajlagos megváltozásához a függvényérték hány százalékos fajlagos megváltozása tartozik.
A pontelaszticitás számítási képlete határértékszámítással adódik:
Példa 1: Ha x=3 helyen E(3)= -2, akkor az x=3 helyen x 1 %-os növelésével a függvényérték várhatóan 2 %-kal csökken!
Példa 2: Ha x=3 helyen E(3)= +1,2, akkor az x=3 helyen x 1 %-os növelésével a függvényérték várhatóan 1,2 %-kal nő!
Általánosíthatunk is, azaz képezhetjük az úgynevezett elaszticitás függvényt is, mely tetszőleges x pontban megadja az elaszticitás százalékos értékét:
Szöveges szélsőérték feladat
Szöveges feladatok esetében előfordulhat, hogy valamely vizsgált jellemző szélsőértékét, azaz maximumát, minimumát keressük.
Ekkor fel kell írnunk a vizsgált jellemzőt leíró függvényt, s annak (általában) lokális maximumát vagy minimumát keresni.
Ezt a függvény szélsőérték vizsgálatával tehetjük meg, miután a szöveges feladat alapján saját magunk írtuk fel a vizsgálandó függvényt.
www.maths.hu
|