I. Végtelen sorozatok
II. Végtelen sorok
III. Sorozatok tulajdonságai - Határérték, konvergencia, divergencia
IV. Sorozatok tulajdonságai - Monotonitás
V. Sorozatok tulajdonságai - Korlátosság
VI. Küszöbindex meghatározása
VII. Összefüggés a tulajdonságok között


Végtelen sorozatok

Végtelen sorozaton a pozitív természetes számok N⁺ halmazán értelmezett egyértelmű hozzárendelést értjük.
Jelölésmód:
általánosan:
explicit alakban (n megadásával a sorozat eleme számítható):
   például    
implicit alakban: (a sorozat a_n eleme sorrendben őt megelőző elemektől függ):
   például

Végtelen sorok

Végtelen sor egy adott a_n sorozat részletösszegeiből képzett b_n sorozat (a részletösszeg az a_n sorozat első n tagjának összege).
   például:
A végtelen sorokat is ugyanúgy vizsgálhatjuk, mint a többi sorozatot (konvergencia, divergencia, monotonitás, korlátosság).

Sorozatok tulajdonságai - Határérték, konvergencia, divergencia

Definíció:
a_n sorozat határértéke , ha tetszőleges számhoz létezik olyan n₀ köszöbindex, melynél nagyobb valamennyi n-re teljesül, hogy , azaz a sorozat elemeinek (a_n) eltérése az A határértéktől kisebb -nál.

Konvergens a sorozat, ha létezik a határértéke, ellenkező esetben divergens. A határérték csak véges szám lehet. A határértéket szinte sosem a definíció alapján számítunk, hanem:
   - nevezetes sorozatok határértékére visszavezetve, algebrai átalakításokkal operálunk,vagy
   - konvergens sorozatok közé szorítjuk be a sorozat elemeit (skatulyaelv).
A skatulyaelvet alkalmazva a konvergenciát úgy is tudjuk igazolni, hogy magát a határértéket nem is számítjuk. Divergenciát igazolhatunk úgy is, hogy egy sorozat elemeit egy másik, divergens sorozat elemeivel hasonlítjuk össze.

Tágabb értelemben vett határérték:

Ha egy sorozat divergens, azaz véges határértéke nem létezk, vizsgálható, hogy vajon az összes eleme a pozitív vagy negatív végtelenhez tart-e. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a sorozatnak tágabb értelemben létezik a határértéke, azaz vagy a pozitív vagy a negatív végtelenbe tart:
   

Sorozatok tulajdonságai - Monotonitás

Monoton növekedő a sorozat, ha
   a rákövetkező elem nem kisebb mint az előző, azaz:
Monoton csökkenő a sorozat, ha
   a rákövetkező elem nem nagyobb mint az előző, azaz:

Lényeges dolog a monotonitás vizsgálatakor, hogy valamennyi esetén teljesülnie kell ugyanabban az irányban az egyenlőtlenségnek, különben a sorozat nem monoton.

A monotonitást vizsgálni lehet:
   - a különbségi kritériummal (ekkor két szomszédos elem különbségét vizsgáljuk), vagy

   - a hányados kritériummal (két szomszédos elem hányadosát vizsgáljuk).


Sorozatok tulajdonságai - Korlátosság

Definíció szerint korlátos a sorozat, ha egyidejűleg létezik alsó és felső korlátja, azaz valamennyi eleme e két korlát közé esik:


Önmagában egy korlát létezése nem elegendő. Tehát ha csak alsó, vagy csak felső korlát létezik, a sorozat nem korlátos. A korlátosságot nem feltétlen szükséges úgy belátni, hogy ki is számítjuk ezeket a korlátokat. Azaz nem szükséges a felső korlátok közül a legkisebbet (supremum), vagy az alsó korlátok közül a legnagyobbat (infinum) megtalálni.

A korlátosságot más tulajdonságok vizsgálatával is összeköthetjük, ezekből következtetve a korlátosságra. Például, ha egy sorozat monoton növekedő és konvergens, nyilvánvalóan alulról közelít a határértékéhez. Ez esetben ez a határérték a (legkisebb) felső korlát. Vagy megfordítva: ha egy sorozat monoton csökkenő és konvergens, nyilvánvalóan felülről közelít a határértékéhez. Ez a határérték a (legnagyobb) alsó korlát.

Küszöbindex meghatározása

A határérték definicójában szereplő egyenlőtlenségre épülő számítási feladatokban érdekelhet minket, hogy:
   - adott konvergens sorozat és szám esetén mekorra a küszöbindex (n₀),
   - adott konvergens sorozat és küszöbindex (n₀) esetén mennyi értéke,
   - divergens sorozat és elég nagy esetén hányadik elemtől kezdve lesz a sorozat
     valamennyi eleme ennél az -nál nagyobb.

Az első két esetben a küszöbindexnél nagyobb valamennyi n esetén a sorozat elemeinek határértéktől való eltérése kisebb -nál:

Összefüggés a tulajdonságok között

A kovergencia, monotonitás, korlátosság kapcsolatával több nevezetes tétel is foglalkozik, ezek közül a legnevezetesebb szerint, ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor bizonyosan konvergens. Ezt a tételt felhasználhatjuk a konvergencia igazolására.

www.maths.hu